測度論
勒貝格外測度
勒貝格外測度是一份具體的配方，用以求覆蓋一個集合（從外部）所需開區間總長度的最小值。你嘗試用一個可數區間族給集合「蓋被子」的每一種方式，把每床被子裡各區間的長度相加，再對所有被子取下確界。這個下確界便是該集合的外測度。
確切地說，對 R 的子集 E，勒貝格外測度為 m-star(E) = inf 關於 n 求和的 length(I_n)，其中下確界對所有滿足其聯集包含 E 的可數開區間族 I_1, I_2, ... 取。此 m-star 對 R 的每個子集無一例外地有定義，單調，且可數次可加——也就是說，它是抽象意義下一個真正的外測度。
由這一個公式，勒貝格測度的整座大廈隨之建立。把卡拉西奧多里準則施於 m-star 便產生勒貝格可測集，而 m-star 限制在它們上是可數可加的：這就是勒貝格測度。須坦言的微妙之處是：m-star 單獨在任意集合上只是次可加；唯有限制到可測集後，才恢復完全的可加性。
為見 m-star(Q 交 [0,1]) = 0：將有理數枚舉為 r_1, r_2, ...，在 r_n 周圍放一個長度為 epsilon/2^n 的區間；總長度為 epsilon，而 epsilon 任意，故下確界為 0。同樣的技巧表明每個可數集的外測度為零。
用總長為 epsilon 的逐漸縮小的區間覆蓋一個可數集——對每個 epsilon 皆然。
另見