非負函數的積分

一旦能對階梯狀的簡單函數積分,我們就用這種階梯從下方逼近任意非負可測函數,並問積分最大能做到多少。答案——所有保持在下方的簡單函數積分的上確界——被規定為該函數的積分。這是自然的從下往上填充的構造:用盡可能好的簡單形狀把圖像下方的區域填滿。

形式上,對可測的 f 大於等於 0,f 關於 μ 的積分定義為滿足 0 小於等於 s 小於等於 f 的一切簡單函數 s 的積分的上確界。這個上確界在廣義意義下總存在,故取值落在 [0, 無窮],可能為正無窮。此階段不要求有限性——非負函數總有良定義(可能為無窮)的積分。

這一定義是單調的(函數越大,積分越大或相等),而且關鍵在於,它正是使單調收斂定理成立的設置:一列遞增的非負函數在取極限時可逐項積分。有限與否則是可積性這個另外的問題,需透過要求絕對值的積分有限來處理。