可積函數

對非負函數積分總能得到 [0, 無窮] 中的答案,但對於既高於又低於橫軸的函數,我們想要一個有限的、帶符號的數。乾淨的規則是:一個函數可積當且僅當其中沒有隱藏的無窮抵消——即不計符號的總面積有限。只要求絕對值的積分有限,其餘一切便自然就位。

確切地說,可測函數 f(實值或複值)稱為勒貝格可積,若 |f| 關於 μ 的積分有限。此時把 f 寫成正部 f-plus 減負部 f-minus,二者皆非負且積分有限,並定義 f 的積分為 f-plus 的積分減 f-minus 的積分。對複值 f,則分別對實部與虛部積分。這是相容的,並給出有限值。

請注意它與條件收斂級數及反常黎曼積分的不對稱:勒貝格可積性是一個絕對的概念。不存在條件收斂積分的勒貝格類比;若 |f| 的積分為無窮,則 f 乾脆不可積,縱使 (sin x)/x 的某種精細的黎曼式極限會收斂。其回報是穩健性:可積函數構成一個向量空間,並服從那些強有力的收斂定理。