簡單函數的積分

簡單函數只取有限多個值,每個值各佔一個可測集——可以想像成一座階梯,但每級台階可以鋪在任意古怪的地塊上,而不只是區間。對它積分是最自然不過的事:對每個值,把該值乘以它所覆蓋的地塊面積(集合的測度),再相加。這積分實際上就是值的加權和,而權就是測度。

確切地說,若一個非負簡單函數寫成標準形式,即 c_k 乘以可測集 A_k 的指示函數之和,其中 c_k 為不同的取值、A_k 互不相交,則其積分為 c_k 乘以 μ(A_k) 之和。需要驗證它是良定義的:用指示函數組合的任何其他表示都給出同一個數,故定義不依賴於書寫方式。這裡約定 0 乘以無窮為 0。

這是整個勒貝格積分由之生長的種子:每個非負可測函數都是低於它的簡單函數的上確界,而這種函數的積分就是這些簡單函數積分的上確界。所以把這一基礎情形做對——並證明它具有可加性與單調性——就完成了早期的大部分工作。