勒貝格積分與黎曼積分之比較

兩種積分回答的是同一個問題——圖像下方的面積是多少——只是記帳方式不同。黎曼把 x 軸切成細豎條,只要函數在每條內不太搖擺它就滿意。勒貝格切的是 y 軸,把函數處於某一高度的所有 x 收攏在一起,無論它們多麼零散。後一種方法能應付粗糙得多的函數。

精確的比較很乾淨。在有界區間上,每個黎曼可積函數都勒貝格可積,且兩積分相等。勒貝格判據恰好刻畫了哪些有界函數黎曼可積:那些幾乎處處連續者(間斷點之集測度為零)。故在有界區間上勒貝格是嚴格的推廣:函數更多,而兩者皆適用處答案相同。

有一處誠實地說黎曼走得更遠:條件收斂的反常積分。(sin x)/x 在 [0, 無窮) 上的反常黎曼積分存在且等於 pi/2,但該函數在此並非勒貝格可積,因為其絕對值的積分發散。恰當的小結:在絕對積分與極限定理上勒貝格佔優;而條件收斂仍需反常黎曼積分(或其現代親屬)。