黎曼可積的勒貝格判據

一個有界函數究竟何時黎曼可積?黎曼判據給出關於分割的檢驗,而勒貝格定理給出關於函數自身的、乾淨的結構性回答:可積性完全由函數失去連續的嚴重程度所控制。只要那些行為不良的點在尺寸上可忽略,積分就存在。

確切地說,[a, b] 上的有界函數 f 黎曼可積,當且僅當 f 的間斷點之集為零測集。一個集合是零測集,如果它能被可數多個區間覆蓋,而這些區間的總長度可以任意小;有限集、可數集以及康托集都合格,儘管康托集不可數。

這一筆便解釋了先前所有事實:連續函數(無間斷點)與單調函數(至多可數個跳躍)可積,托梅函數(在可數的有理點處間斷)可積,而狄利克雷函數(處處間斷)不可積。這裡所需的零測度概念,正是勒貝格測度論的種子,這也是為何此定理是從黎曼積分通往勒貝格積分的自然橋樑。