幾乎處處

「幾乎處處」是測度論者表達「在一切要緊之處」的方式。一個命題幾乎處處成立，是說它失敗的那些點構成的集合小到——零測度——可以為積分所關心的一切目的而忽略。例外點確實存在，但毫無分量。

形式地說，給定測度 mu，性質 P(x) 稱為 mu-幾乎處處成立（簡記 a.e.），若使 P(x) 為假的那些 x 之集包含於某個零測度集中。兩函數 f 與 g 幾乎處處相等，若 {x : f(x) 不等於 g(x)} 測度為零。這是一個等價關係，勒貝格理論系統地把幾乎處處相等的函數視為同一。

正是這一概念使勒貝格積分穩健：在零集上改動一個函數，其任何積分都不變；而關於收斂的定理（單調收斂、控制收斂）只要求幾乎處處收斂，而非每一點都收斂。須坦言的提醒是：「幾乎處處」依賴於所用的測度——關於勒貝格測度的幾乎處處，與關於集中在單點上的測度的幾乎處處，並不相同。