法圖引理

法圖引理是函數收斂但可能不規矩時你能得到的安全網:即使對序列毫無控制,在極限中面積也不能憑空產生,只可能流失。最終下包絡的積分至多等於積分穩定下來的最小值。它是單邊不等式,而這種單邊性恰好正確——質量可以逃向無窮,卻不能憑空出現。

陳述:對任意一列非負可測函數 f_n,f_n 的下極限的積分小於等於 f_n 積分的下極限。不要求單調性、控制函數或收斂性——只要非負。當 f_n 確實逐點收斂到 f 時,左邊就是 f 的積分,從而 f 的積分小於等於積分的下極限。

不等式可以是嚴格的,而這正是要點所在。對移動凸包 f_n 取 [n, n+1] 的指示函數,下極限函數為 0(積分為 0),而每個積分為 1(下極限為 1):0 嚴格小於 1,質量已行進至無窮。法圖引理是證明控制收斂定理所用的輕量工具。