冪級數的唯一性

同一個函數能否圍繞同一中心寫成兩個真正不同的冪級數?令人安心的是:不能。函數完全鎖定了它的冪級數係數——展開的方式恰有一種。這正是使待定係數法成為合法手段的原因:若兩個冪級數表示同一個函數,你便可逐項令它們相等。

表述:若在 c 附近某區間上(甚至在以 c 為聚點的某個集合上)對所有 x 有 sum a_n (x - c)^n = sum b_n (x - c)^n,則對每個 n 有 a_n = b_n。由係數公式立即可證:兩邊有相同的和函數 f,而每個係數都必等於 f^{(n)}(c)/n!,故二者一致。等價地說,和為零函數的冪級數只有係數全為零的那一個。

一個更銳利的版本支撐著解析函數的同一性定理:若一個有正半徑的冪級數在某個帶有圓盤內聚點的集合上為零,則它的所有係數都為零。這種剛性極為戲劇化——在一小簇點上相等,就迫使兩個解析函數在它們共同定義且連通之處處處相等,而這一性質對僅僅光滑的函數並不成立。