克萊羅定理

當你跨兩個變數求二階導數時，也許會擔心：先對 x 再對 y，與先對 y 再對 x，結果會不會不同。克萊羅定理給出令人寬心的結論：只要足夠光滑，順序無關緊要——兩個混合偏導數乾脆相等。求導的帳目是對稱的。

精確地說：若二階混合偏導數 d^2 f/(dy dx) 與 d^2 f/(dx dy) 都在某點的鄰域內存在且在該點連續，則它們在該點相等。（一個常見且略強的假設是 f 為 C^2——二次連續可微——這使所有混合偏導對稱。）此結論常同時歸功於克萊羅與施瓦茨。

連續性假設並非裝飾。存在某些函數，其兩個二階混合偏導在某點都存在卻取不同值，正因為那些偏導在該點不連續。所以誠實的陳述是有條件的：混合偏導相等在連續性下成立，而非無條件成立。當它成立時，海森矩陣是對稱的。