混合偏導數

對一個變數求導後，你可以再對另一個不同的變數求導。混合偏導數就是這種跨兩個不同變數的兩步過程的結果——例如，先擾動 x，看「關於 y 的斜率」如何變化。它探測的是：當你沿一個方向移動時，函數在另一方向上的斜率如何改變。

嚴格地說，對 f(x, y)，兩個二階混合偏導數是 d^2 f / (dy dx)，意為先對 x、再對 y 求導，以及 d^2 f / (dx dy)，意為先對 y、再對 x 求導。（不同書對順序的記號約定不一，需仔細閱讀。）對更多變數的函數，每一對有序的不同變數都對應一個混合偏導數。

自然的問題——求導順序是否重要？——有一個令人安心但有條件的答案。一般而言，當函數行為惡劣時兩種順序可給出不同結果，但在溫和的連續性假設下它們總相等。這個相等，即克萊羅定理，正是我們能把二階導數毫不含糊地寫成對稱的海森矩陣的原因。