下積分

每個下達布和都是面積的低估,而更細的分割給出更大的低估。下積分是所有低估中最好的:當你無限加細時下和所能趨近的最大值。它是所有下和都遵從的最高的地板。

對 [a, b] 上有界的 f,下積分是對所有分割 P 取下達布和的上確界:f 的下積分 = sup_P L(f, P)。這個上確界存在且有限,因為下和有上界(每個上和都是它們的上界),於是實數的完備性提供了這個值。

對有界函數,下積分總是存在,且絕不超過上積分:下積分 <= 上積分。當兩者相等時,函數黎曼可積,公共的數就是積分。下積分是嚴格藏於圖像下方的階梯所能捕獲的最大面積,而可積性恰好斷言:在它上方的縫隙裡沒有任何實質被遺漏。