函數序列與級數
一致極限定理
這是一致收斂最重要的一項回報：它打不破連續性。若你序列中的每個函數都連續，且它們一致地趨於某極限，則該極限也連續。逐點收斂給不出這種保證——正是這道缺口，使一致收斂物有所值。
陳述：設 f_n 在集合 E 上（或在點 a 處）連續，並設 f_n 在 E 上一致收斂到 f。則 f 在 E 上連續。證明是著名的 epsilon/3 論證：寫出 |f(x) - f(a)| <= |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) - f(a)|。一致收斂使第一、三項對大 n 關於 x 一致地變小，再由固定的那個 f_n 的連續性，使當 x 靠近 a 時中間項變小。
逆否地讀，這條定理是有力的否決工具：若連續函數逐點收斂到一個不連續的極限，則該收斂必非一致。這是不必計算任何上確界範數，就能確認給定的逐點收斂不是一致的最快途徑。
每個 f_n(x) = x^n 在 [0,1] 上連續，但它們的逐點極限在 x = 1 處從 0 跳到 1，故不連續。由一致極限定理（逆否形式），x^n -> f 的收斂在 [0,1] 上不可能是一致的——這印證了上確界範數計算中 sup |x^n - f| 始終為 1。
不連續的逐點極限排除了一致收斂。
又稱
另見