連續函數空間

一旦你用上確界範數來度量函數，緊集上全體連續函數就不再是一團模糊的「一堆函數」，而成為一個單一的幾何對象：一個以函數為點、以最壞情形差距為距離的空間。於是你可以像談論 R^n 中的點一樣，談論收斂、完備性，乃至函數構成的球。

設 K 是緊度量空間（例如閉區間 [a, b]）。空間 C(K) 由 K 上全體連續的實值（或複值）函數組成，配以上確界範數 ||f|| = max 關於 K 的 |f(x)|。這使 C(K) 成為一個賦範向量空間，而在此範數下的收斂恰是一致收斂。

核心定理是 C(K) 完備：每個一致柯西的連續函數序列都在上確界範數下收斂到一個連續函數。（完備性來自一致柯西準則，極限保持連續則由一致極限定理保證。）完備的賦範空間稱為巴拿赫空間，故 C(K) 是巴拿赫空間——它是魏爾斯特拉斯逼近定理、斯通–魏爾斯特拉斯定理等逼近結果的天然棲所。