函數序列與級數
一致柯西準則
對普通數列，柯西準則讓你無需事先知道極限就能證明收斂：只要檢查各項最終擠到一起。一致柯西準則是同一思路提升到函數上——即便你沒有極限函數的公式，只要檢查 f_n 一致地聚攏，就能確立一致收斂。
陳述：E 上的序列 f_n 稱為一致柯西的，是指對每個 epsilon > 0 都存在 N，使得當 m, n >= N 時對所有 x 屬於 E 都有 |f_m(x) - f_n(x)| < epsilon——也即 sup 關於 x 的 |f_m(x) - f_n(x)| < epsilon。定理（對取值於實數、複數或任一完備度量空間的函數成立）是：f_n 在 E 上一致收斂，當且僅當它是一致柯西的。兩個方向都重要。
為何成立：逐點地看，柯西條件迫使每個 f_n(x) 收斂到某個值，從而定義出極限 f(x)。然後在 |f_m(x) - f_n(x)| < epsilon 中固定 m 讓 n -> infinity，便對所有 x 一齊得到 |f_m(x) - f(x)| <= epsilon，這正是一致收斂。使逐點極限存在的關鍵是目標空間的完備性——若函數取值於像有理數那樣不完備的空間，該準則可能失效。
考察實軸上的部分和 s_n(x) = sum_{k=1}^n cos(kx)/k^2。當 m > n 時，|s_m(x) - s_n(x)| <= sum_{k=n+1}^m 1/k^2，與 x 無關，而由於 sum 1/k^2 收斂，這條尾巴趨於 0。於是 (s_n) 是一致柯西的，因而一致收斂——根本不必顯式寫出極限。
不指明極限即可證明一致收斂。
用上確界範數的語言，這無非是說有界函數空間是完備的：一個序列一致收斂當且僅當它在上確界範數下是柯西的。
另見