上確界範數

若你想用一個數字概括「一個函數有多大」，上確界範數給出最悲觀的答案：函數取絕對值後所達到的最高高度。兩個函數在這個範數下「接近」，恰當它們的圖像在任何地方都不會拉開太遠——不是平均意義上，而是在最糟糕的那一點上。

形式上，對集合 E 上的有界函數 f，上確界範數為 ||f|| = sup 關於 x 屬於 E 的 |f(x)|。它是真正的範數：||f|| >= 0 且僅對零函數取等號，||c f|| = |c| ||f||，並且三角不等式 ||f + g|| <= ||f|| + ||g|| 成立。在緊定義域上，連續函數的上確界可以取到，於是「sup」變為「max」，||f|| 就是函數的峰值絕對值。

上確界範數的要點是：它把一致收斂轉化為某個賦範空間裡的普通收斂——f_n 在 E 上一致收斂到 f，當且僅當 ||f_n - f|| -> 0。正是這種重新表述，使我們能把有界（或連續）函數全體當作度量空間來處理，從而搬來完備性、柯西序列和極限的全套工具。