範數
範數是“向量長度”的抽象概念。它把一支箭頭除了從原點伸出多遠之外的一切都剝離，並以尊重縮放與三角幾何的方式做到這一點。一旦有了範數，你就能談論大向量與小向量、兩個向量有多接近、以及一個序列是否穩定下來——微積分的全部機器在遠比數更奇異的對象上重新出現。
確切地說，向量空間 V 上的範數是一個函數 ||·|| : V -> [0, 無窮)，具有三條性質：正定性，||x|| = 0 若且唯若 x = 0；絕對齊次性，對每個純量 c 與向量 x 有 ||c x|| = |c| ||x||；以及次可加性，對所有 x, y 有 ||x + y|| <= ||x|| + ||y||。最後一條是三角不等式的化身，它保證 d(x, y) = ||x - y|| 表現得像一個真正的距離。
若捨棄 ||x|| = 0 必導致 x = 0 這一要求，你便得到半範數，它可以給非零向量賦予零長度；半範數有用，但不能分離點。範數是那個特殊的、能分離點的情形，它恰是構建關於大小與逼近的清晰理論所需的結構。
在連續函數空間 C[0, 1] 上，上確界範數 ||f|| = [0, 1] 上 |f(x)| 的最大值是一個真正的範數：||f|| = 0 迫使 f 處處為零，縮放提出 |c|，且 max|f + g| <= max|f| + max|g|。取 f(x) = x 與 g(x) = 1 - x，則 ||f|| = ||g|| = 1 而 ||f + g|| = 1 <= 2，體現了次可加性。
連續函數上的上確界範數，將三角不等式具體化。
由三條公理可推出反向三角不等式 | ||x|| - ||y|| | <= ||x - y||，它表明範數本身是一個連續函數。範數的連續性被反覆使用，例如把極限移入 ||·|| 之內。