完備化

度量空間的完備化填平它的空洞。你拿來一個缺失極限的空間——其中有些序列擠攏卻在內部無所收斂——然後正式地恰好補上它們所夠向的那些點，造出一個完備空間，把原空間作為忠實而稠密的副本含於其中。

確切地說，度量空間 (X, d) 的完備化是一個完備度量空間 (X-hat, d-hat)，連同一個把 X 嵌入 X-hat 的等距嵌入，其像是稠密的。這樣的完備化總是存在，且在等距意義下唯一。一種標準構造是把新的點取為 X 中柯西序列的等價類，其中兩個柯西序列被視為同一，當對應項之間的距離趨於 0。

最著名的完備化是有理數的完備化：在通常度量下完備化 Q 便得到實數 R。原空間稠密地坐落在它的完備化之中，故每個新點都是舊點的極限；在此意義下，完備化並未添加任何未被逼近過的東西，它只是補上了曾經缺失的極限。