度量空間中的收斂

當一個序列的各項最終隨你所願地緊挨著某點並停留在那裡時，它就收斂於該點。度量空間中的收斂與實數軸上是同一個想法，只是把絕對值換成了距離 d，於是這一概念原封不動地搬到函數空間、向量空間或任何帶有度量的空間。

確切地說，度量空間 (X, d) 中的序列 (x_n) 收斂到極限 L，如果對每個 epsilon > 0 存在 N，使得當 n >= N 時 d(x_n, L) < epsilon。等價地，實數序列 d(x_n, L) 趨於 0。這一條件恰好是把 |x_n - L| 換成 d(x_n, L) 後的 epsilon-N 收斂定義。

只要空間是真正的度量空間，極限就是唯一的，因為若一序列同時逼近兩個極限 L 與 L-prime，則三角不等式將迫使 d(L, L-prime) <= d(L, x_n) + d(x_n, L-prime) -> 0，故 L = L-prime。要緊的是，一個序列是否收斂可能取決於所用的度量：同一列函數在一種距離觀念下收斂，在另一種下卻可能發散。