海涅連續性

說一個函數從不跳躍,方式不止一種。ε-δ 的方式談論容差;海涅的方式談論序列。海涅連續性以愛德華·海涅命名,它這樣定義連續性:要求函數把每一個收斂的輸入序列,變成收斂且落在正確值上的輸出序列。

確切地說,f 在 a 處海涅連續,是指對定義域中每個收斂到 a 的序列 (x_n),其像序列 f(x_n) 都收斂到 f(a)。在實直線上——以及在任何度量空間中——這個序列條件恰好等價於通常的 ε-δ 定義,因此「海涅連續」與「柯西(ε-δ)連續」描述的是完全相同的函數。

這一等價值得一句提醒:它依賴於能在任意鄰域內構造一個收斂序列,而在最一般的情形下,這要用到某種形式的(可數)選擇公理。在缺乏可數鄰域基的抽象拓撲空間中,序列連續性可能嚴格弱於拓撲連續性——但在 R^n 與度量空間中,這兩個概念完全一致,正因如此,海涅的表述才成為證明中如此便利的工具。