全稱量詞

全稱量詞是片語「對所有」（符號 ∀），它把關於 x 的開句變成斷言其對指定論域中每個元素都成立的命題。「對所有實數 x，x^2 ≥ 0」同時對每個實數斷言性質 x^2 ≥ 0，是把無窮多個命題捲成了一個。論域很要緊：「對所有自然數 n，n ≥ 1」在正整數上為真，但若允許 0 則為假。

要證明一個全稱命題，你必須對一個任意的、固定但不另加限定的元素確立該性質——當元素有無窮多個時不能逐一核驗。標準做法是「設 x 為任意實數」，然後只用對每個實數都成立的性質來論證。反過來，要推翻一個全稱命題，單單一個反例就夠了：一個壞的 x 即可擊垮「對所有 x」。

量詞是分析的脈搏。極限的 epsilon–delta 定義讀作「對所有 epsilon > 0，存在 delta > 0，使得對所有滿足 0 < |x − a| < delta 的 x，都有 |f(x) − L| < epsilon」——一串嵌套量詞，其次序不可互換。流利地讀寫並操縱這樣的串，是本學科中最重要的一項語言技能。