量詞的否定

對量化命題取否定遵循兩條簡單而機械的規則。「對所有 x，P(x)」的否定是「存在 x 使非 P(x)」；「存在 x 使 P(x)」的否定是「對所有 x，非 P(x)」。用話說：要否認某事對一切成立，只需一個例外；要否認某物存在，則須處處排除它。

這些規則讓你能把否定號穿過整疊量詞向內推：每個 ∀ 翻成 ∃，每個 ∃ 翻成 ∀，最裡層的謂詞最後被否定。對嵌套命題逐次施用這些規則，途中還要對聯結詞用德摩根律。這一過程機械而可靠，正是數學家珍視量詞記號的原因所在。

這就是分析中每個「反設不然」論證背後的實用引擎。要證一個序列不收斂到 L，你否定「對所有 epsilon > 0 存在 N 使對所有 n ≥ N，|a_n − L| < epsilon」，得到「存在 epsilon > 0 使對所有 N 存在 n ≥ N 滿足 |a_n − L| ≥ epsilon」。這個否定形式恰恰告訴你要造出什麼：一個頑固的 epsilon，以及對每個 N 都有一個仍在搗亂的靠後下標。