魏爾斯特拉斯逼近定理

多項式是我們能手算的最簡單函數:只需加法與乘法。魏爾斯特拉斯逼近定理做出了一個驚人的承諾——閉有界區間上的每個連續函數,無論多麼扭曲或鋸齒,都能被多項式同時在各處任意逼近。僅憑連續性就足夠了,無需任何光滑性。

表述:若 f 在閉區間 [a, b] 上連續,則對每個 epsilon > 0 都存在多項式 p,使得對所有 x 屬於 [a, b] 有 |f(x) - p(x)| < epsilon。等價地,在上確界範數(一致接近的範數)下,多項式在連續函數空間 C([a, b]) 中稠密。這種逼近是一致的:同一個多項式在整個區間上都起作用,而非逐點起作用。

請注意它沒有斷言什麼。它並未給出一個收斂到 f 的單一冪級數——逼近用的多項式隨 epsilon 縮小而改變,未必是某一個級數的部分和。事實上 f 甚至可以處處不可微,因而可能根本沒有泰勒級數。一個具體的構造用到伯恩斯坦多項式,它們一致收斂到 f,並給出一個明確而帶概率味道的證明。