斯通-魏爾斯特拉斯定理

魏爾斯特拉斯證明了多項式能逼近區間上任何連續函數。斯通提出了自然的追問:多項式究竟是什麼性質使這成為可能,別的函數族能否做到同樣的事?斯通-魏爾斯特拉斯定理把答案提煉為幾個結構性條件,極大地推廣了原定理。

設定:設 X 是緊空間(例如 R^n 中的閉有界子集),C(X) 是其上的連續實值函數。設 A 是 C(X) 的一個子代數——即對加法、乘法與數乘封閉的集合。若 A 包含常值函數且分離點(對任意兩個不同點,A 中都有函數在它們上取不同的值),則 A 在上確界範數下於 C(X) 中稠密。每個連續函數都是 A 中元素的一致極限。

[a, b] 上的多項式滿足這些假設(它們構成一個代數、包含常數,而單個函數 x 就已分離點),所以經典定理是其特例。這兩個條件確實是必要的:無法區分兩個點的函數族,或對乘法不封閉的函數族,可能錯過某些連續函數。複值版本需附加條件:A 對複共軛封閉。