向量微積分作為形式（vector calculus as forms）
見過外微分之後，妙處令人無法抗拒：向量微積分的三個算子——梯度、旋度、散度——不是三樣東西，而是一樣東西，即外微分 d，分別施加於 0、1、2 階的形式。一旦你在 R^3 中建立起向量場與形式之間的字典，grad、curl、div 那串雜亂的公式就塌縮為單一規則「施加 d」。
這是 R^3 中的字典（它藉助度規來升降指標，所以是笛卡爾式幾何所特有的）。純量函數 f 是 0-形式。向量場 (P, Q, R) 對應 1-形式 P dx + Q dy + R dz，也通過體積形式對應 2-形式 P dy^dz + Q dz^dx + R dx^dy。現在看：0-形式 f 的 d 是 df = f_x dx + f_y dy + f_z dz，就是梯度。場 F 對應的 1-形式的 d 給出一個 2-形式，其分量恰是 curl F。場 F 對應的 2-形式的 d 給出一個 3-形式，其唯一係數恰是 div F。三個經典算子，一個算子 d，僅由它作用的階數來區分。
這不只是整潔；它解釋了你曾死記的那些恆等式。因為 d 平方為零，curl of grad 為零（這是 0-形式上的 d of d），divergence of curl 為零（1-形式上的 d of d）——兩者都白白落出。而廣義斯托克斯定理成為罩在梯度定理、格林定理、經典斯托克斯定理、散度定理之上的大傘，因為每一條都不過是「在相應階數上 integrate d omega = integrate omega 在邊界上」。形式的圖景揭示了：整門學科原本是從幾個角度看到的同一個想法。
取 F = (P, Q, R) 及其 1-形式 omega = P dx + Q dy + R dz。計算 d omega 並整理各項：dy^dz 的係數是 R_y - Q_z，dz^dx 的係數是 P_z - R_x，dx^dy 的係數是 Q_x - P_y。這三個數恰是 curl F 的分量——旋度就是 1-形式的 d。
一個場的旋度，逐分量地說，就是它對應 1-形式的外微分。
向量場與形式之間的字典暗中用了歐氏度規與一個定向選取（以通過體積形式把 1-形式與 2-形式等同起來）。改變度規——走進彎曲空間或曲線座標——同一個外微分 d 巋然不動，而 grad、curl、div 會獲得額外的度規因子。這正是 d 是更根本對象的原因。