廣義斯托克斯定理（generalized Stokes' theorem）
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這是整個領域的頂峰，而它一行寫得下：d omega 在一個區域上的積分，等於 omega 在該區域邊界上的積分。用符號寫，omega 的外微分在 M 上的積分，等於 omega 在 M 的邊界上的積分。它說：要把一個量在區域內部各處的變化累加起來，你只需看它在邊緣一圈上的取值——內部的變化，邊沿上的總和。
它的威力在於：它作為特例，囊括了向量微積分的每一條積分定理。取區域為一個區間、omega 為 0-形式：你得到微積分基本定理，f' 的積分等於 f 在端點上的值。取平面區域、omega 為 1-形式：你得到格林定理。取空間中的曲面、omega 為 1-形式：你得到經典的斯托克斯（旋度）定理。取一個實體、omega 為 2-形式：你得到散度定理。它們不是四條定理，而是一條定理在四個階數上的樣子；它們在向量微積分裡看起來如此不同，唯一的原因是梯度、旋度、散度只是同一個算子 d 穿著三套戲服。
誠實的小字是真實的，值得說清。區域必須是定向的帶邊流形，邊界必須攜帶誘導定向（讓各個號正確出來的約定）。形式必須在含邊界的區域上光滑，或至少連續可微。內部不能有缺失的點或奇點——角度形式展示了當區域裡有一個形式在其處爆掉的洞時會出什麼錯。在這些前提之內，定理精確而絕對，它也是物理中守恆律既能寫成局部微分律、又能寫成整體通量平衡的結構性原因。
取單位圓盤 D 與 1-形式 omega = x dy。則 d omega = dx^dy，所以 d omega 在 D 上的積分是面積 pi。定理說這等於 omega = x dy 沿邊界圓的積分，我們在積分例子裡算出它是 pi。兩個 pi 相符——這一舉就是格林定理與面積公式。
同一個數 pi，一次作為內部的面積、一次作為邊緣上的環流算出——斯托克斯在起作用。
定理需要定向與光滑性；它不是免費通行證。當區域內部有洞或奇點時——如角度形式的原點——樸素的等式失效，你必須要麼把壞點排除（添上它自己的一小圈邊界），要麼接受一個非零的虧量，而這虧量恰是該形式所代表的上同調類。