鏈與邊界（chain and boundary）

要積分一個形式，你需要某個東西去積分，而單一光滑片往往不夠——真實區域可能是好幾塊拼起來的，各有各的定向。鏈就是為此而設的記賬裝置：定向 k 維片（叫 k-胞腔或單純形）的形式和，帶整數係數，讓你能把一片數兩遍，或帶負號翻轉其定向。1-鏈是定向曲線段之和；2-鏈是定向曲面片拼成的補丁。

邊界算子，用一個花體 d（這裡記作 bd）表示，把 k-鏈變成它的 (k-1) 維邊界，作為 (k-1)-鏈——並且仔細追蹤定向。定向曲線段的邊界是其終點減去起點。定向圓盤的邊界是其逆時針繞行的邊緣。實心球的邊界是它的球面。各個號安排得使兩片共享一條稜時，那條共享稜從兩側帶著相反定向出現，在和裡相消——這正是把補丁拼起來時內部切口消失的原因。

決定性的事實，d 平方等於零的鏡像，是邊界的邊界為空：bd(bd of c) = 0。曲面有邊緣，但那邊緣是沒有自身端點的閉迴路；實體有表面，但那表面是沒有邊沿的閉曲面。這是 d 平方 = 0 的幾何孿生，兩者合在一起，使廣義斯托克斯定理（d omega 在區域上的積分等於 omega 在其邊界上的積分）成為形式上算子 d 與鏈上算子邊界之間一種完美的對偶。