體積形式（volume form）
在 n 維空間上有一個特殊階數的形式：n 階，即最高階，它度量完整的 n 維體積。體積形式是一個處處非零的 n-形式，它正是這樣一個裝置：餵入 n 個向量，返回它們張成的盒子的帶號體積。在平直的 R^3 中，標準體積形式是 dx^dy^dz；餵入三個向量，你得到以這些向量為列的矩陣的行列式——你早已認識的帶號體積。
兩個角色使體積形式不可或缺。其一，它是你拿來與函數相乘求總量的對象：密度為 rho 的物體的質量是 rho 乘以體積形式的積分，在座標下這就是熟悉的 rho dx dy dz 的三重積分。其二，體積形式恰是攜帶定向的東西：選定一個體積形式就等同於選定哪個方向為「正定向」，翻轉它的號就把左手系換成右手系。一個空間恰在可定向時才容許整體的體積形式——這正是為何莫比烏斯帶因不可定向而沒有一致的體積形式，你也無法按通常方式在它上面積分最高階形式。
在彎曲空間或曲線座標中，體積形式不只是 dx^dy^dz；它從度規獲得一個因子。在極座標中它是 r dr^d(theta)；在球座標中它是 r^2 sin(phi) dr^d(theta)^d(phi)；一般而言它是度規行列式的平方根乘以座標形式。那個因子恰是你在任何換元中攜帶的雅可比縮放因子——所以體積形式是換元行列式的家，也是散度定理與流形上整套積分機器所環繞的對象。
在 R^3 中，給 dx^dy^dz 餵入三個列向量 u = (1, 0, 0)、v = (1, 2, 0)、w = (1, 1, 3)。結果是 [1, 1, 1; 0, 2, 1; 0, 0, 3] 的行列式 = 1*2*3 = 6，即它們張成的平行六面體的帶號體積。把其中兩個向量調換次序，答案變成 -6——這是形式記錄下來的定向。
體積形式返回其輸入所張成盒子的帶號體積——一個隨定向翻號的行列式。
體積形式只需要定向，不需要度規——任何處處非零的最高階形式都行，而兩個這樣的形式相差一個正函數。但要得到幾何體積（如你期望的長度與角度），你需要帶著度規行列式平方根因子的度規體積形式；裸的 dx^dy^dz 只在笛卡爾座標下給出正確的體積。