形式的積分（integration of a form）
微分形式生來就是為了被積分，而匹配規則美得嚴絲合縫：k-形式正是你在 k 維區域上積分的對象。0-形式（函數）在 0 維區域（一個點）上的「積分」就是在那裡取值。1-形式在曲線上積分，2-形式在曲面上，3-形式在立體上。形式的階數必須等於定義域的維數，否則積分根本無從談起。
在操作上，你通過參數化區域並把形式拉回到參數空間來積分一個 k-形式，在那裡它變成一個普通的多重積分。要在由一個從 u-v 矩形出發的映射給出的曲面 S 上積分 omega，你計算拉回 F-star omega，它落成（某函數）du^dv，然後你把這個函數當作矩形上的普通二重積分去積。由於拉回自動攜帶雅可比，你從不單獨去記換元因子——r dr d(theta) 與曲面元的縮放會自己出現。區域的定向決定整體的號：反轉定向，積分變號，呼應形式自身的反對稱性。
這單一框架把線積分、曲面通量積分、普通體積積分都作為特例吞下——它們全都是「在定向區域上積分匹配階數的形式」。回報是廣義斯托克斯定理可以對它們一次性陳述：d omega 在區域上的積分等於 omega 在邊界上的積分。又因為整個構造建立在拉回之上，答案是真正幾何的——與你恰好選取的參數化無關。
在單位圓上積分 1-形式 omega = x dy，用 x = cos t、y = sin t（t 屬於 [0, 2 pi]）參數化。拉回：dy 變成 cos t dt，所以 F-star omega = cos t * cos t dt = cos^2 t dt。cos^2 t 在 [0, 2 pi] 上的積分是 pi——恰好是所圍面積，這是格林定理的一個暗示。
在曲線上積分 1-形式，經由拉回，歸結為參數裡的普通單重積分。
積分隨定向變號，所以只有在你固定區域定向後，形式的積分才有定義。這與用於總質量或弧長的函數無號積分不同——那裡你對面元取絕對值，定向無關緊要。