k-形式（k-form）
一旦你接受 1-形式是在度量一維邁步，自然的下一個問題就是：什麼東西度量定向面積、定向體積，或更高維空間的一塊？答案是 k-形式。k-形式是這樣的裝置：在每一點它吃進 k 個切向量——一個微小定向 k 維盒子的各條稜——返回一個數，告訴你這個盒子所代表的帶號 k 維體積，再按該點處的場加權。
其定義性質是反對稱性（也叫交替性質）：交換 k 個輸入向量中的任意兩個，輸出就變號。這條單一規則編碼了定向：朝一個方向掃出的面積記為正，同一面積朝另一方向掃出則記為負，恰如你在行列式裡攜帶的那個號。事實上，由座標搭出的 k-形式本質上是若干 k 乘 k 雅可比行列式之和。反對稱性還逼出一道硬天花板：在 n 維空間裡，階數超過 n 的形式只能是零，因為你無法在不重複輸入的情況下塞進多於 n 個獨立插槽，而一旦重複，交替形式就消失。於是在 R^3 中你得到 0-形式（純量）、1-形式、2-形式與 3-形式（體積密度），再高就沒有了。
k-形式正是你在 k 維區域上積分的對象：1-形式在曲線上，2-形式在曲面上，3-形式在立體上。它們由基本 1-形式相楔而成，如 dx^dy^dz，而一點處全體 k-形式構成的空間維數為 n 取 k。這種按階數的分級正是整套形式微積分得以運轉的關鍵：外微分把階數升一，楔積把階數相加，而積分在 k 維定義域上吞掉一個 k-形式。
在座標為 x1,...,x4 的 R^4 中，基本 2-形式如 dx1^dx3 餵入兩個向量 u 與 v，返回 2 乘 2 矩陣 [u1, v1; u3, v3] 的行列式——也就是 u、v 平行四邊形在 x1-x3 平面上投影的帶號面積。R^4 中一般的 2-形式是 4 取 2 = 6 個基本形式 dx_i^dx_j（i < j）的組合。
k-形式通過組合其輸入的雅可比式行列式來讀取帶號的 k 維體積。
階數 k 計的是形式所度量對象的維數，而不是空間的維數。2-形式在 R^3、R^4 或任意 n 至少為 2 的 R^n 中都有意義；只有當容不下兩個獨立方向時它才恆為零。