1-形式（1-form）
1-形式是最簡單而有趣的微分形式：在每一點它都是一把線性量尺，吃進一個向量返回一個數。最清晰的畫面是等高線地圖。由高度函數 f 造出的 1-形式 df，是這樣一個裝置：你遞給它一個邁步的方向與長度，它就告訴你爬升了多少。它的等位集就是等高線，等高線密的地方這個 1-形式就密，地勢平坦的地方就稀疏。
在座標下，1-形式形如 omega = P dx + Q dy + R dz，其中 P、Q、R 是函數，而 dx、dy、dz 是讀取你所餵入向量的 x、y、z 分量的基本 1-形式。把向量 v = (a, b, c) 餵給 dx 返回 a，餵給 dy 返回 b，依此類推，所以 omega(v) = P a + Q b + R c——當你把 omega 等同於場 (P, Q, R) 時這就是普通點積。純量 f 的特殊 1-形式 df 是它的微分，df = f_x dx + f_y dy + f_z dz，這是寫成形式的梯度；把 df 作用在 v 上恰好給出 f 沿 v 的方向導數。
1-形式正是你沿曲線積分的對象：omega 沿路徑的線積分就是你在向量微積分裡已經算過的那種類似做功的量。它也是鏈式法則的自然語言，因為 1-形式在任何映射下都能乾淨地拉回（你只需代入）。要緊的是，1-形式是餘向量——它住在對偶空間裡——這一與向量的區別，在你換到非笛卡爾座標或走上彎曲曲面的那一刻就變得關鍵，因為餘向量與向量按互逆的規則變換。
設 omega = y dx + x dy。在點 (1, 4) 把向量 v = (2, 3) 餵給它：dx(v) = 2，dy(v) = 3，所以 omega(v) = y*2 + x*3 = 4*2 + 1*3 = 11。注意 omega = d(xy)，所以它是乘積 xy 的微分，沿任意從 (0,0) 到 (1,4) 的路徑積分它都給出值的改變量 xy = 4。
1-形式與向量配對給出一個數；這裡這個數在任何路徑上都一樣，因為這個形式是恰當的。
不要把 dx 讀成一個可約掉的無窮小純量。作為 1-形式，dx 是向量上的函數：dx(v) 是 v 的 x 分量。經典裡 dx 相約掉的記賬仍然有效，但那只是因為它是這一精確配對的簡寫。