微分形式（differential form）

想想你在向量微積分裡真正去積分的那些東西。有時你在一個區域上對函數積分（二重或三重積分）。有時你沿曲線積分 F 點乘 dr。有時你在曲面上積分通量 F 點乘 n dA。它們看起來是記號不同的不同運算，可它們其實是同一類動作：把一小塊帶定向的空間餵進某個裝置，讀出一個數。微分形式正是這個裝置——你放在積分號下面的那個東西。

更精確地說，k 階微分形式（k-形式）是這樣一個對象：在空間的每一點，它吃進 k 個小切向量（一個微小定向 k 維平行多面體的各條稜），返回一個數，而且是反對稱地這樣做——交換兩個輸入向量，結果就變號。0-形式就是純量函數 f，不吃向量，直接返回其值。形如 3 dx + x dy 的 1-形式吃一個向量返回一個數；你早已在線積分裡見過它的積分。2-形式吃兩個向量（一塊定向面積），是你在曲面上積分的對象。記號 dx、dy、dz 不是可以隨便約掉的非正式符號——它們就是基本的 1-形式，是座標測量的插槽，其餘一切都由它們搭建。

形式之所以是合適的語言，是因為它把定向、維數和換元的雅可比因子變成自動內置的，而不是事後人工拼上去。它把梯度、旋度、散度統一成一個算子（外微分 d），並把格林、斯托克斯、散度三大定理化為單一陳述（廣義斯托克斯定理）。它是微分幾何、寫在時空裡的電磁學、哈密頓力學，以及在彎曲或更高維空間上做現代應用分析時的工作記號。