外微分（exterior derivative）
普通微積分裡的求導把函數變成一個你能在稍大對象上積分的東西——你對高度求導得到斜率，再沿路徑把斜率積回去。外微分 d 是一次性對每個階數的形式都做這件事的單一算子。它把 k-形式變成 (k+1)-形式，把你能積分對象的維數升一，且方式恰好與「在區域上積分對比在其邊界上積分」相吻合。
對 0-形式（函數 f），外微分給出熟悉的微分 df = f_x dx + f_y dy + f_z dz——寫成 1-形式的梯度。對更高階形式，你對每個係數施加 d 再楔上新的 dx：對 1-形式 omega = P dx + Q dy，你得到 d omega = dP^dx + dQ^dy，展開並用反對稱性後塌縮為 (Q_x - P_y) dx^dy——而這個係數 Q_x - P_y 正是格林定理裡那個類似旋度的量。算子 d 是線性的，服從分級乘積法則 d(alpha^beta) = d alpha^beta + (-1)^p alpha^d beta，並且構造得不依賴你的座標選取：同一個形式無論你用笛卡爾、極座標還是任何其他圖卡來算，都有相同的外微分。
外微分是統一者。施加於 R^3 中的形式時，它依次重現梯度（0-形式的 d）、旋度（1-形式的 d）、散度（2-形式的 d）——向量微積分的三個算子原來是同一個。它最深刻的性質，d 平方等於零，一筆就把 curl of grad = 0 與 div of curl = 0 兩個恆等式編碼進去，並且它是通往廣義斯托克斯定理與德拉姆上同調的大門。
取 1-形式 omega = x y dx + x^2 dy。則 d omega = d(x y)^dx + d(x^2)^dy = (y dx + x dy)^dx + (2x dx)^dy。用 dx^dx = 0 與 dy^dx = -dx^dy，這等於 x dy^dx + 2x dx^dy = -x dx^dy + 2x dx^dy = x dx^dy。係數 x 等於 Q_x - P_y = (2x) - (x)，證實了旋度的解讀。
對平面上的 1-形式施加 d，把純量旋度 Q_x - P_y 重現為 dx^dy 的係數。
外微分不需要度規、不需要點積、不需要距離概念——它純粹關乎形式如何變化。這正是它能存活到任意光滑流形上的原因，而梯度與散度——它們暗中藉助度規來升降指標——只是它依賴座標與度規的翻譯版本。