楔積（wedge product）
/ WEJ product /
如何用兩個度量長度的 1-形式造出一個度量面積的 2-形式？你把它們相乘——但要帶上一個記住定向的轉折。楔積，用符號 ^（讀作「楔」）記，是把一個 p-形式與一個 q-形式合成 (p+q)-形式的乘法。它的全部個性就是一條規則：它對 1-形式反對稱，即 dx^dy = -dy^dx，因而 dx^dx = 0。
這種反對稱不是怪癖，而是定向面積的代數。2-形式 dx^dy 餵入兩個向量，返回它們在 x-y 平面上投影的帶號面積——一個行列式——而行列式在交換兩列時變號，這恰恰就是 dx^dy = -dy^dx。dx^dx = 0 的消失則在說：兩條稜相等的退化平行四邊形沒有面積。對混合階數，符號規則推廣為：若 alpha 是 p-形式、beta 是 q-形式，則 alpha^beta = (-1)^(pq) beta^alpha，於是兩個 1-形式反交換，而一個 2-形式與一個 1-形式交換，依此類推。楔積還滿足結合律並對加法分配，所以你幾乎可以像普通乘法那樣運算——只需在重排時仔細記號，並把任何重複了某個基本 1-形式的項殺掉。
楔積是讓更高階形式得以存在的發動機。它讓 dx、dy、dz 生成基本 2-形式與體積形式 dx^dy^dz；它藏在叉積裡（u 叉乘 v 對應於由對偶於 u、v 的 1-形式造出的 2-形式），也藏在每一個換元雅可比裡。在物理中，它把勢 1-形式拼成電磁場 2-形式，並支撐哈密頓力學的辛 2-形式。
把 alpha = 2 dx + dy 與 beta = dx - 3 dy 相楔。展開並用 dx^dx = dy^dy = 0 以及 dy^dx = -dx^dy：alpha^beta = 2 dx^(-3 dy) + dy^dx = -6 dx^dy - dx^dy = -7 dx^dy。這唯一的係數 -7 恰好是係數矩陣 [2, 1; 1, -3] 的行列式。
在平面上把兩個 1-形式相楔，產出 dx^dy 的單一倍數，其係數是一個 2 乘 2 行列式。
符號規則取決於階數，而不取決於這些形式作為數是否可交換。奇數階的形式與自身相楔總為零（奇階的 alpha 有 alpha^alpha = 0），但偶數階的形式未必如此：2-形式可以與自身非平凡地相楔，正如辛形式那樣。