德拉姆上同調（de Rham cohomology）
/ duh-RAHM /
我們有兩個渴望被比較的事實：每個恰當形式都是閉的，但並非每個閉形式都恰當。兩者之間的缺口——閉而不恰當的那些形式——結果並非偶然，而是對空間中洞的一次度量。德拉姆上同調正是把「閉而不恰當」變成對這些洞精確計數的記賬法，且只用空間上的微積分。
這個構造是一段乾淨的代數。在每個階數 k，考慮閉 k-形式（被 d 殺掉的那些），再對恰當 k-形式（是某物的 d 的那些）取商。因為 d 平方為零，每個恰當形式都是閉的，所以這個商有意義；結果就是第 k 個德拉姆上同調，其維數是一個叫第 k 個貝蒂數的數。若這個商平凡（每個閉形式都恰當），空間就沒有 k 維洞。若它非零，每個獨立的剩餘閉而不恰當形式就指向一個不同的洞。在去心平面上，角度形式 (-y dx + x dy)/(x^2 + y^2) 是 1 階的剩餘類，它探測出原點處的那一個洞——第一個貝蒂數是一。
德拉姆的驚人定理是：這個純粹由微分與積分光滑形式定義的對象，所算出的數恰與拓撲用三角形和鏈來數洞所算出的數完全相同。光滑空間上的微積分看得見它的整體形狀。這正是為何一個迴路積分非零的閉形式是你無法揉搓掉的真正障礙，為何有洞空間上的電磁學有物理後果（通量量子化、阿哈羅諾夫-玻姆效應），以及為何德拉姆上同調是從微分形式的局部語言通往拓撲的整體語言的橋樑。
在圓周（一維迴路）上，形式 d(theta)——角度微分——是閉而不恰當的，因為 theta 不是單值函數（每繞一圈跳 2 pi）。它無法寫成圓周上任何誠實函數 f 的 df，所以它代表一個非零類：圓周的第一個德拉姆上同調是一維的，探測出這個迴路。
圓周上的角度形式閉而不恰當；它剩下的上同調類就是圓周纏繞的那個迴路。
德拉姆上同調度量的是定義域的洞，而不是形式的缺陷。說 d(theta)「閉而不恰當」是關於圓周形狀的陳述；在圓周的一塊可縮片上，同一形式確實有勢。障礙住在空間裡，而形式只是把它揭示出來。