龐加萊引理（Poincare lemma）
/ pwan-kah-RAY /
龐加萊引理是那條拯救「閉蘊含恰當」這一夢想的定理。我們已知每個恰當形式都是閉的；引理說在局部上其逆也成立。在任何可縮區域上——一個你能連續收縮到單點的區域，如球、星形區域，或整個 R^n——每個閉形式都恰當。所以在這樣的區域裡，d omega = 0 就保證你能找到 eta 使 omega = d eta。
它最常以偽裝出現。對平面上的 1-形式，龐加萊引理說：若在單連通區域上 Q_x = P_y，則 P dx + Q dy 擁有勢函數 f 滿足 df = omega——也就是「良好定義域上無旋場是梯度」這一標準事實。引理還告訴你如何構造勢：把形式沿從收縮點出發的直射線積分。這條顯式的同倫公式是構造性的，所以引理不只是存在性陳述；它把原函數交到你手裡。
至關重要的小字是「局部」一詞，等價地說「在可縮區域上」。一旦定義域有洞，引理就失效，而這種失效正是德拉姆上同調的全部內容。角度形式 (-y dx + x dy)/(x^2 + y^2) 在去心平面上處處閉，卻沒有整體的勢，因為去心平面不可縮。所以龐加萊引理最好讀作「何時拓撲不擋路」的精確陳述——以及「何時它正好擋路」的一面旗幟。
在整個 R^2 上取 omega = (3x^2 + y) dx + (x + 2y) dy。檢驗閉：P_y = 1 = Q_x，所以 d omega = 0。平面可縮，於是龐加萊引理承諾有勢。積分得：f = x^3 + xy + y^2 可行，因為 df = (3x^2 + y) dx + (x + 2y) dy = omega。
在可縮定義域上，通過閉性檢驗就保證有勢——而你可以靠積分把它造出來。
前提是可縮性，它比定義域僅僅連通要更強。對 1-形式，常用的工作條件陳述為單連通（沒有縮不掉的迴路）；對更高階形式，你需要更高階的可縮性，而一個定義域可以單連通卻仍困住某個 2-形式。