保險現值的方差（variance of the insurance present value）

精算現值 A_x 告訴你身故給付的平均價值，但平均值掩蓋了離散程度。對任何一張保單而言，實際現值都是一個隨機變量——記作 Z——因為它取決於身故究竟發生在何時。若明年身故，Z 很大（折現很輕的一筆給付）；若五十年後身故，Z 很小（折現很重的一筆）。保險現值的方差衡量 Z 圍繞其均值 A_x 擺動的幅度：它是保險公司在單張保單上的風險，是那種在龐大群體中會被平均掉、但落到單張合同上卻很扎手的東西。

計算它有一個非常簡潔的辦法。在身故年末支付的單位給付，其現值是 v 的「身故時點」次方；它的平方恰好就是「在雙倍利息力下的 v」。於是 Z 的二階矩——前面加個 2 記作 2A_x——正是同一個保險函數，只不過在「利息力翻倍」的意義下計算（把 v 換成 v 的平方）。方差便是標準的「平方的均值減均值的平方」：Var(Z) = 2A_x - (A_x)^2。比如，若 A_x = 0.30、2A_x = 0.12，則方差為 0.12 - 0.09 = 0.03，標準差約 0.17——相對於 0.30 的均值已經很大。

正是這個方差為風險分攤和資本提供了依據。單張身故給付合同波動很大；但大數定律告訴我們，n 張獨立保單平均值的方差會按 1/n 收縮，所以一本龐大且分散良好的業務遠比單張保單可預測。精算師用同一套機理來設定分位數保費、確定安全加載、並估計在選定置信水平下維持償付能力所需的資本。關鍵提醒：這個乾淨的公式假設各生命相互獨立且利率固定——若死亡相關（如大流行）或利率隨機，真實方差會大於 2A_x - (A_x)^2 所暗示的值。