變異數與標準差

期望告訴你一個隨機量平均落在哪裡，卻沒說它會多麼劇烈地上下跳動。兩家保險公司每張保單的預期損失都可能是 1000 元，可其中一家的損失緊緊聚攏在 1000 元附近，另一家卻在 0 到 50000 元之間大幅擺動。變異數與標準差度量的正是這種離散程度——結果通常會偏離均值多遠。

變異數記作 Var(X)，是「與均值之距」的平方的平均值：Var(X) = E[(X - E[X])^2]。取平方使偏差保持為正，並對大幅偏離施以重罰。因為取平方也改變了單位（元變成元的平方），我們通常再開平方得到標準差，它回到原來的單位，可直接解讀為「典型偏差」。一個好用的事實：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2。變異數不像均值那樣具有線性性：對相互獨立的變數，變異數相加，Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)，但當變數相關時會冒出一項共變異數。

離散程度正是保險被設計來馴服的東西，所以變異數遍布精算工作。加在純保費之上的風險附加反映了損失的標準差；資本要求隨損失分布的波動性而放大。大數定律之所以奏效，恰恰是因為把許多相互獨立的風險匯集起來會縮小平均損失的標準差，使整個風險池變得可預測，儘管每張保單都不可預測。相對離散程度，即標準差除以均值（變異係數），是衡量某條業務線風險高低的常用標尺。