共變異數與相關係數

共變異數與相關係數度量兩個隨機量是否傾向於一起變動。當一個高於自己的平均時，另一個通常也高於其平均，還是低於？如果一條業務線上的大額損失與另一條上的大額損失同步出現，它們就共擔風險、彼此放大；如果一個上升時另一個往往下降，它們便相互抵消、使總額趨於平穩。這兩個數字給這種聯動賦予了量值。

共變異數 Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，在兩者一起漲落時為正，在反向變動時為負，在兩個方向都沒有線性傾向時為零。但它的大小難以解讀，因為它帶著兩個變數單位相乘的量綱。相關係數則通過把共變異數除以兩個標準差來解決這一點，產生一個乾淨的、無量綱的數，始終介於 -1 與 +1 之間：+1 是完全同步，-1 是完全鏡像，0 是沒有線性關係。0.8 的相關係數表明強烈的正向聯動；-0.3 表明輕微的抵消傾向。

對精算師而言，這是分散化的脈搏。和的變異數為 Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y)，所以正共變異數會抬高組合風險，負共變異數則抑制它——這正是保險公司要把業務分散到不相關的業務線與地區的原因，也是相關的巨災風險如此令人畏懼的原因。有兩條警告至關重要。其一，相關不等於因果：兩個序列可能因為同受第三個驅動因素影響而一起變動，彼此卻毫無直接聯繫。其二，零相關並不意味著獨立——相關係數只能看見直線關係，即便兩個變數之間存在強烈但非線性的依賴，它也可能讀出恰好為零，這個盲點已經坑過不止一個風險模型。