期望

隨機變數的期望是它的長期平均值——如果你能把試驗反覆進行無數次再把結果取平均，最終會收斂到的那個數。它是對一個隨機量「通常落在哪裡」最好的單一數字概括，是其分布的平衡點。我們把它寫作 E[X]，常稱之為均值。

你把它算作可能取值的「機率加權平均」：把每個取值乘以它的機率，再全部相加（對連續變數，則對「取值乘以密度」做積分）。如果一張彩票以 0.99 的機率賠 0 元、以 0.01 的機率賠 100 元，它的期望就是 0×0.99 + 100×0.01 = 1 元，儘管你實際上永遠不可能正好贏得 1 元。一個極其有用的性質是線性性：E[aX + bY] = a·E[X] + b·E[Y] 永遠成立，即使 X 與 Y 相互依賴也成立——這正是為什麼「和」的期望如此好處理。

期望是保險定價的奠基石。純保費——價格中用來覆蓋理賠的那部分——本質上就是 E[損失]，即所轉移風險的預期成本。一份給付的精算現值就是一個期望。平衡原則（等價原則）按「保費的預期現值等於給付的預期現值」來設定保費。但有一條至關重要的警告：單憑期望對風險隻字未提；兩張保單可以有相同的 E[損失]，其中一張風平浪靜，另一張卻可能出現足以致命的大幅波動。