終身壽險精算函數（whole life insurance，A_x）

假設保險公司承諾，在某人身故的那一刻支付 1，無論何時身故——可能明年，也可能五十年後。這份承諾今天值多少？身故終將發生，所以這筆給付一定會付出；唯一的問題是何時付，從而要按利息折現多少。早逝意味著早付，折現得輕，因而值得多；晚逝意味著重重折現後所剩無幾。終身壽險精算函數，記作 A_x，就是這份「無論何時身故都付 1」的承諾，對現年 x 歲的人而言今天的精算現值。

計算時，你逐年掃過未來每一年，取金額 1 的給付，從身故那一年折現回今天，再用「身故恰好落在該年」的機率加權。對所有年份求和，就是 A_x。用文字說：A_x 等於對未來每一年 k 求和的 (折現到該年的因子) 乘以 (在該年身故的機率)。由於身故必然發生，A_x 可看作對「身故這個未知時刻」取的一種加權平均折現因子。在中等利率下，一位健康成年人每單位的 A_x 典型值大約在 0.2 到 0.4——遠低於 1，因為這筆給付平均而言要等許多年。

A_x 是這門學科中最重要的單一保險函數；幾乎所有其他身故給付的價值都是它的變體（定期、延期、兩全）。它通過關係式 A_x = 1 - d 乘以期初終身年金（d 為貼現率）與年金優美地咬合在一起——務必記住這個恆等式，它把整門學科串了起來。一個常見誤解是「A_x 越大代表風險越大」；事實上 A_x 隨年齡上升、隨利率上升而下降，只是反映出這筆身故給付在現值意義上離得更近，或融資成本更低而已。