終身期初年金精算函數（whole life annuity-due，ä_x）

保險只賠一次，在身故時；年金恰好相反——只要人還活著，它就持續付錢，人一死就停。終身期初年金在此人活著的每一年年初支付 1：現在付 1，一年後若仍在世再付 1，再過一年若仍在世又付 1，如此延續終生。這正是終身退休金的結構：你領不完的定期收入，但也在你身故的那一刻戛然而止。

它的精算現值記作 ä_x（兩點表示付款在每年年初——「期初年金」），其構建方式是分別給每年的付款定價再相加。當下應付的那一筆值足額的 1；之後每一筆都按利息折現，並按「屆時仍在世能領到」的機率加權。用文字說，ä_x 等於對未來每一年 k 求和的 (折現到第 k 年的因子) 乘以 (活到第 k 年的機率)。由於長壽意味著多次付款，ä_x 通常是個不小的數——對一個 40 歲的人、在中等利率下，它可能約為 18，意味著這一終身收入流在今天的錢裡約值 18 年的付款。

終身年金是退休金與退休收入的引擎，並通過恆等式 A_x = 1 - d 乘以 ä_x（等價地 ä_x = (1 - A_x) / d）與保險密不可分。這個聯繫意味著每個年金值都對應一個保險值，反之亦然。一個誠實的細微之處：ä_x 假設每年年初付款，而期末年金（記作 a_x，無點）在每年年末付款；二者恰好相差「當下應付的那一筆」，故 ä_x = 1 + a_x。把這兩者搞混是本學科最常見的錯誤之一。