保險與年金的關係（insurance-annuity relationship）

保險在身故時付一筆躉款；年金在在世期間付一串款。它們看似相反，實則是同一枚硬幣的兩面，由整門學科中最優雅的恆等式之一相連：A_x = 1 - d 乘以 ä_x，其中 d 是年貼現率。變形後為 ä_x = (1 - A_x) / d。知其一便立刻知其二——無需另作計算。

它從何而來？設想今天投資 1，並承諾在此人在世期間，每年把它所生的利息持續付出，待其身故時再把剩下的本金交出。每年的利息付款構成一份年金，身故時歸還的本金構成一份保險。二者合起來必定重新拼回你最初投入的那個 1。把折現一路算清，這條「價值守恆」的陳述就恰好變成 A_x = 1 - d 乘以 ä_x。同一個恆等式在兩全保險上有定期形式 A_{x:n} = 1 - d 乘以 ä_{x:n}，在連續形式下則用利息力替代 d。

這個關係在實務中極其有用。壽命表與軟體常列出年金值，而這個恆等式讓你免費讀出對應的保險值（反之亦然）；它還能讓你把保費與準備金公式改寫成更簡潔的那種形式。唯一要弄對的是該用哪個利息量：離散恆等式用的是 d，即貼現率（d = i / (1 + i)），既不是利率 i，也不是利息力。代錯了利率——這是初學者的經典錯誤——優雅的恆等式就會悄無聲息地給出錯誤答案。