期初年金

有些付款是預先支付而非在期末支付的。房租是經典例子：你在住進去之前、在月初的第一天就付下個月的錢，而不是月末。當等額付款在每一期的期初到來時，這種安排就是期初年金。它與期末年金是同一串現金流，只是整體提前了一期——而由於錢會生息，這一小小的提前使它略微更值錢。

期初各支付 1、共 n 期的期初年金的現值記作 a‑double‑dot‑angle‑n，等於（1 減 v 的 n 次方）除以 d，其中 d 是貼現率。因為每筆付款都早一期，期初年金通過一個累積因子與期末年金相聯：a‑double‑dot‑angle‑n 等於（1 + i）乘以 a‑angle‑n，同樣地累積值 s‑double‑dot‑angle‑n 等於（1 + i）乘以 s‑angle‑n。保險費和正在領取的養老金通常按期初年金建模，因為給付和保費往往在每年年初支付。

這一區別在壽險精算中至關重要，那裡標準的生命年金就是期初年金（退休者在他活著的每一年年初領錢）。把時點弄錯一期，會系統性地給合同定錯價。一個可靠的檢驗：期初年金總比其餘完全相同的期末年金多出一個（1 + i）的因子，絕不會更少，因為每一元都早到一期。