期末年金

生活中許多付款都按穩定的節拍到來：每月的房租、每年的退休金支票、汽車貸款的等額分期。當等額付款在每一期的期末到來時，這種安排就是期末年金。儘管字面上「期末」之外英文叫 immediate（立即），第一筆付款卻並非馬上支付——它落在起點之後整整一期，這正是它區別於期初年金的決定性特徵。

在利率 i 下，期末各支付 1、共 n 期的期末年金的現值記作 a‑angle‑n，等於（1 減 v 的 n 次方）除以 i，其中 v 為 1 除以（1 + i）。其期末累積值記作 s‑angle‑n，等於（（1 + i）的 n 次方 減 1）除以 i。直觀地說，a‑angle‑n 不過是 n 筆單獨付款現值之和，即 v 加 v 的平方一直加到 v 的 n 次方；那個簡潔的閉式公式只是把這條等比數列收攏起來罷了。

期末年金是貸款與債券數學的骨架，因為多數貸款都是後付的——你今天借款，一個月後才付第一筆。等額房貸月供、債券的票息流、向基金的定期供款，都用這些公式計值。掌握期末（immediate）與期初（due）這一雖小卻關鍵的時點差異，能避免一整類相差一期的錯誤。