永續年金

一股永不停止的付款流值多少——一筆每年固定支付你一筆錢、永遠不停的款項？聽上去它似乎應該值無窮多，其實不然。因為每一筆付款都被推得更遠、被貼現得更重，這些貢獻縮小得足夠快，以致它們的總和會落在一個有限的、出人意料地簡單的數值上。這樣一筆永不終止的等額年金，就是永續年金。

在利率 i 下，永遠在每期期末支付 1 的期末永續年金的現值，就是 1 除以 i。在每期期初支付的期初永續年金，則值 1 除以 d。邏輯很乾淨：n 筆付款年金的現值是（1 減 v 的 n 次方）除以 i，當 n 無限增大時 v 的 n 次方趨於 0，剩下 1 除以 i。所以一筆每年 1 的永續年金在 5% 下值 20；在 4% 下值 25。

永續年金不只是教科書裡的奇談。英國政府曾真的發行過名為 consols 的永久債券，而永續年金公式也是用來給股息穩定的股票估值的戈登增長模型背後的引擎。對精算師而言，它是一種合理性檢驗工具，也是一塊構件：任何長年金都可以近似為兩筆永續年金之差。它還帶來一個難忘的啟示——永久收入的價值與利率成反比，所以利率下降時，永久義務的價值會急劇膨脹。