酉算子

酉算子是希爾伯特空間的一次剛性旋轉——它把向量挪來挪去，卻從不改變任何長度或角度。它是正交（旋轉）矩陣的無窮維版本。因為它保全部幾何，所以可逆，而其逆恰是它的伴隨，這使它格外易於處理。

形式地，希爾伯特空間上的有界算子 U 是酉的，若它是滿射且保內積：對一切 x, y 有 <U x, U y> = <x, y>。等價地 U 可逆且 U* = U^{-1}，亦即 U U* = U* U = I。保內積迫使 ||U x|| = ||x||（它是等距），而滿射把這個等距升級為完整的酉算子。

滿射並非自動成立，絕不能略去：l^2 上的右移算子保內積（它是等距，U* U = I）卻不是滿射，故不是酉的（U U* 不是恆等）。酉算子的譜總落在單位圓 |lambda| = 1 上，正映照出正交矩陣的特徵值模長為一。