正規算子

正規算子是與自身鏡像——伴隨算子——「合得來」的算子：二者交換。這一條代數條件，恰是算子能被某個標準正交基（或更一般地被譜測度）對角化所需的全部。自伴算子、酉算子和正算子都是正規算子的特例。

在希爾伯特空間上，有界算子 T 正規，若它與其伴隨交換：T T* = T* T。等價地，對一切 x 有 ||T x|| = ||T* x||。正規算子這一類，正是譜定理以其最強形式成立的那一類：每個正規算子都酉等價於某個 L^2 空間上對某（複值）函數的乘法算子。

正規性允許複特徵值，卻仍保證特徵向量正交。自伴指 T = T*（實譜）；酉指 T* = T^{-1}（譜在單位圓上）；二者都自動滿足 T T* = T* T。需要誠實指出：非正規算子的譜可以完全正常，卻徹底無法對角化——其特徵向量可能張不成全空間，且可能嚴重不正交。