自伴算子

自伴算子是對稱（厄米）矩陣在無窮維中的對應物——並繼承了一切良好性質：實特徵值、正交的特徵向量、乾淨的對角化。正因為它們的譜（可測的取值）是實的，它們才成為量子力學中刻畫物理可觀測量的算子。

在帶內積 <.,.> 的希爾伯特空間 H 上，有界算子 T 自伴，若它等於自身的伴隨：對一切 x, y 屬於 H 有 <T x, y> = <x, T y>，即 T = T*。此時它的譜是實軸上的一個非空緊子集，且沒有剩餘譜。數值域 <T x, x> 對每個 x 都是實數，這正是譜為實的根源。

對無界算子必須格外小心：「對稱」（指在定義域上 <T x, y> = <x, T y>）嚴格弱於「自伴」，因為自伴還要求 T 的定義域等於其伴隨 T* 的定義域。對稱算子可能不是自伴的，二者之差由虧指數刻畫。譜定理只對真正自伴的算子全力適用，而非僅僅對稱的算子。