譜定理

譜定理是「對稱矩陣可被標準正交基對角化」的宏大推廣。它說，希爾伯特空間上最良好的算子——自伴的，或更一般地正規的——在換一個視角之後，無非就是對某個函數的乘法。在有限維中如此乾淨的對角化，借助對譜測度積分的語言，存活進了無窮維。

其緊形式為：緊自伴算子 T 有一組由特徵向量組成的標準正交基，且 T x = sum lambda_n <x, e_n> e_n，實特徵值 lambda_n 趨於 0。其一般（有界）形式為：每個有界正規算子 T 都酉等價於某個 L^2(mu) 空間上對一個有界可測函數的乘法；等價地 T = ∫ lambda dE(lambda)，其中 E 是支撐在譜上的唯一投影值譜測度。

玄機在於真正的特徵向量可能不存在——可能沒有任何非零向量被算子僅僅縮放。連續譜不靠對特徵值求和處理，而靠對投影值測度 E 積分，該測度把譜的每個博雷爾子集映為一個正交投影。這正是「對角化」在不存在特徵基時仍然延續的確切含義，也是函數演算的嚴格基礎。